Математика

Техника устного счета

Умножение на 9, 11, 99, 101

Проще всего умножать и делить числа на 10, 100 и т.д. При этом к множимому приписывается столько нулей, сколько их имеется в множителе. Отсюда получаем простое правило для умножения на 9, 11, 99, 101.

Чтобы умножить какое-нибудь число на 9, нужно увеличить его 10 раз и от полученного результата отнять само данное число. Но это правило не стоит применять, когда число записано с помощью единиц и нулей. В этом случае легче произвести умножение на 9 непосредственно.

Чтобы умножить какое-нибудь число на 11, нужно увеличить его в 10 раз и к полученному результату прибавить само это число.

Особенно просто умножение двузначного числа на 101. Нужно мысленно приписать справа к данному числу его само, и прочесть то, что получиться.

При умножении на 99 нужно, очевидно, увеличить данное число в 100 раз, и от полученного числа отнять само данное число.

Умножение на 2, 4

Умножение на 2 начинают со старших разрядов.

Умножение на 4 сводится к двукратному умножению на 2.

Умножение и деление на 5, 25, 50

Умножение на 5 сводится к делению пополам (надо умножить на 10 и результат разделить пополам).

Деление на 5 – это удвоение данного числа и последующее деление на 10.

При умножении на 25 мы умножаем на 100 и результат делим на 4.

При делении на 25 – умножаем на 4 (т. е. два раза на 2) и делим на 100.

При умножении на 50 умножаем на 100 и делим пополам; при делении на 50 сперва удваиваем, потом делим на 100.

Умножение на 3, 6 и 7

При умножении двузначного числа на 3, 6 или 7 сначала умножаем десятки, потом единицы, затем оба результата складываем.

Трёхзначное число умножается на 3 по такому же правилу: сначала умножаются сотни, потом десятки, потом единицы, затем всё складывается. Умножать по такому же правилу на 6 было бы невыгодно. Лучше сначала умножить на три, а затем результат удвоить.

Умножение многозначных чисел на 7 требует особой тренировки.

Проценты

При вычислении процентов от некоторого числа удобно связывать проценты с представлением доли этого числа. Для некоторых процентов приведём таблицу соответствий.

Умножение двузначных чисел, близких к 100

Покажем на примере:

Обоснование этого способа дано ниже:

(100 — a) (100 — b) = (100 – а) x 100 – 100 x b + ab =
= 100 ((100 – a) – b) + ab,

где а и b — дополнения первого и второго сомножителей до 100 соответственно.

Умножение чисел, близких к 1000

Покажем на примере:

987 x 996 = (987 – 4) x 1000 + 4 x 13 = 983052

Обоснование:

(1000 — a) (1000 — b) = (1000 – а) x 1000 – 1000 x b + ab =
= 1000 ((1000 – a) – b) + ab,

где а и b — дополнения первого и второго сомножителей до 1000 соответственно.

Информация к размышлению

Предложите способ для быстрого умножения и деления чисел на 125, для умножения на 2,5, на 0,75, на 1,25.

Корень квадратный в уме

Каким способом можно быстро извлечь корень квадратный из целого числа, имеющего в десятичной записи не более четырех знаков? Предполагается, что корень извлекается из данного числа нацело.

Найдите корни , . Попробуйте найти .

Алгоритм извлечения корня квадратного

Рассмотрим на примере .

Для нахождения произведем следующие действия:

1) десятичную запись числа 273529 разобьем на группы по две цифры, начиная справа;

2) для старшей группы, образующей число 27, подберем такую цифру, чтобы ее квадрат был наибольшим, но не превосходил числа 27; такой цифрой будет 5, ее запишем в качестве первой цифры ответа;

3) из старшей группы цифр вычтем найденный в предыдущем пункте квадрат первой цифры ответа и к полученной разности 27 – 25 = 2 припишем справа следующую группу цифр 35; получим число 235;

4) удвоив записанное в ответе число 5, припишем справа такую цифру, чтобы произведение полученного в результате числа на эту цифру было наибольшим, но не превосходило числа 235; такой цифрой будет 2 (ибо 102 x 2 = 204 < 235, но 103 x 3 = 309 > 235), ее и запишем в качестве второй цифры ответа;

5) из числа 235 вычтем найденное в предыдущем пункте произведение 204 и к остатку 31 снесем следующую группу цифр 29; получим число 3129;

6) удвоив записанное в ответе число 52, припишем справа такую цифру, чтобы произведение полученного в результате числа на эту цифру было наибольшим, но не превосходило числа 3129; такой цифрой будет 3 (ибо 1043 x 3 = 3129), ее и запишем в качестве третьей цифры ответа;

7) разность между снесенным числом 3129 и полученным в предыдущем пункте произведением равна 0, поэтому корень квадратный из числа 273529 извлекается нацело и равен записанному в ответе числу 523.